聊聊四色猜想

叶跃进

四色猜想的源头是给地图着色，每两个相邻的国家都用不同的颜色分开，尽管不同的地图上国家的个数不同，但每张地图着色的颜色只需要四种。这个发现是1852年的事，进而猜测：会不会任何地图着色都可以用不超过四种颜色来完成呢？由此便成为了数学问题。至今已经过去170年，最好的研究成果是1976年的计算机验证。但验证并不是证明。

这个四色猜想的四色地图，对于国、省也是适用的。任何一个省其相邻的市都用不同的颜色分开，只要用不超过四种颜色。如下图一，安徽旧图：

(图一)

验证跟证明不同，如给定100个国家找到四色地图，再给定1000个国家又找到四色地图，仅仅如此，甚至可以说它都不是一个数学问题，因为没有用到“数”，全球200个国家，只要有耐心，用多种颜色逐一着色，不成就换一张，再不成就再换一张，把所有的可能都做一遍，其中就有四色地图，如上安徽地图，问题就解决了。这就是验证。

但是，当把“任何”、“无穷”加进去，就是任何无穷大球面、无穷多国家的地图，都可以用不超过四种颜色来着色，这样的命题计算机是不能完成的，这才是数学问题。

由此，1976年的验证，并不是四色猜想的最终结果。

因为是“任何”、“无穷”，那就不再特指国家了，而是图块。最简单的如棋盘，是二色着色。如下图二：

(图二) 

 (图三)

但三边形拼图，则是三色着色，如上图三。

为绘图简便，也可以用不同的数字代替不同的颜色，如图二中的1、2，图三中的1、2、3。

是不是任何相邻图块不同颜色的着色，都只有二色、三色、四色呢？答案是否定的。下面图四左边是五色图，图五左边是六色图。

                                              (图四)

                (图五)

从图中还可以看出，可以通过调整图块的颜色来使五色图、六色图成为四色图，如图四、图五的右边。

也就是说，如果有一张地图上有100个国家，那么，在所有的着色编图中，至少有一张图是100种颜色，也就是每个国家一种颜色，相邻国家的着色必然不同，只是这个地图要称作100色地图了。接下来通过调整，使其成为99色地图、98色地图、97色地图、96色地图，显然这些都是很容易做到的，假如最后能调整成为4色地图，只要这种调整的规则是通行的，那我们就是可以知道，1万个国家的地图、1亿个国家的地图，及至无穷个国家的地图，通过调整，最后总能使其成为4色地图。这就是证明。

在数论里，趋于无穷，其实并没有谁去列出那个无穷，而是找到一个方法，得到一个规则，把那个无穷包含在里面。

我对四色猜想的证明，主要在三个方面：其一是核心，着重论证三色的必然性，因为三色是必然的，再加上若干条件，就可以使四色成为必然。其二，就是论证调整规则的通用性，因为这个调整规则是通用的，所以任何多的国家最后都能通过这种调整，成为四色地图，也就是解决“无穷”的问题。最后是球面图块的分布规律，这个规律也是适应任何球面任何多的国家的。

下一篇或许三取一，或许一把完成。                            (完)                                 2021-10-20                              2021-10-21修改